Оба варианта некорректны. Возможный вариант: быть внимательным.
Лучше: хранить, сохранять бдительность.
Оба варианта корректны.
Корректно: пробудить у детей (в детях) интерес к...
Конечно, строго.
Верно без запятой. Ваш пример полностью аналогичен примеру из вопроса 311144. Соответственно, и обоснование ответа будет тем же. Сравним: Пять принципов красоты и способы их соблюдения.
Сочетание соблюдать спокойствие не ошибочно, но всё-таки и не вполне удачно. Соблюдать – 1) строго придерживаться чего-либо, в точности выполнять что-либо (соблюдать дисциплину, соблюдать диету, соблюдать приличия), 2) тщательно оберегать; поддерживать (соблюдать достоинство, соблюдать чистоту, соблюдать тишину). Сохранять (в рассматриваемом значении) – продолжать оставаться в каком-либо положении, состоянии, не утрачивать, не лишаться каких-либо качеств, свойств (сохранять спокойствие, сохранять невозмутимость, сохранять равновесие).
Таким образом, предпочительно: сохранять спокойствие (т. е. «продолжать быть спокойными, не утратить спокойствие»).